Valor numérico de un polinomio - Ejercicio 5

  • Autor: julioprofe
  • Transcriptor: Transcriptor.net
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Transcripción del vídeo

Nos dan un polinomio algebraico de tres términos, es decir, un trinomio. Como vemos depende de las variables a, b y c. $$ P(a,b,c) = a^3-2b^2c+4abc^4 $$ Y nos piden hallar su valor numérico cuando estas letras tomas estas cantidades: $$ P\bigg(-\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{2},\bigg) = \ ? $$ Es decir: $$ a = -\frac{1}{3}\ \ \ \ \ \ b = -\frac{1}{4}\ \ \ \ \ \ c=\frac{1}{2} $$ Vamos a resolver detalladamente este ejercicio paso a paso, y al final haremos su comprobación utilizando la calculadora Casio Classwiz.

Entonces, el polinomio P tendrá el siguiente valor:

  • Comenzamos con a en el primer término que es -1/3, entonces -1/3 lo escribimos dentro de paréntesis reemplazando a la letra a, y queda elevado al cubo.
  • Después, en el segundo término, tenemos 2 por el valor de b que es -1/4, agregamos entre paréntesis -1/4, y todo esto elevado al exponente 2. Y eso multiplica por c, como vemos c vale 1/2, también lo escribimos utilizando paréntesis.
  • En el tercer término tenemos +4 por el valor de a que es -1/3, lo escribimos con paréntesis. Después tenemos b que es -1/4, también dentro de los paréntesis. Y después el valor c que es 1/2 dentro de los paréntesis, y todo esto elevado al exponente 4.

$$ P = \bigg(-\frac{1}{3}\bigg)^3-2\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)^2\bigg(\frac{1}{2}\bigg)+4\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^4 $$

Después de haber sustituido las letras por sus correspondientes valores, en el polinomio que nos dieron, vamos a resolver las operaciones que hay en cada unos de estos tres términos. Y comenzamos por desarrollar las potencias.

Entonces tenemos que el polinomio P será igual a lo siguiente:

En el primer término

Se observa una cantidad negativa elevada a un exponente impar, en ese caso, dice la propiedad de la potenciación que el resultado será de signo negativo, entonces de una vez, podemos asegurar ese signo y colocarlo. $$ \color{blue}(-)^{Impar} = (-) $$ Ahora se observa una fracción elevada a un exponente. La propiedad de la potenciación para esta situación nos dice que el exponente afecta al numerador y también afecta al denominador. $$ \color{blue}\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^n = \frac{a^n}{b^n} $$ Entonces , es decir, 1×1×1 nos da 1, o sea, 1 en el numerador, y , es decir, 3×3×3 nos da 27 en el denominador. Al final -1/27 será el resultado de desarrollar la potencia que tenemos en el primer término: $$ P = -\frac{1}{27}-2\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)^2\bigg(\frac{1}{2}\bigg)+4\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^4 $$ En el segundo término

Tenemos -2 por la fracción -1/4, la cual obedece a esta propiedad: base negativa con exponente par, nos produce un resultado positivo. $$ \color{blue}(-)^{Par} = (+) $$ Entonces ya sabemos que el resultado de (-1/4)² tiene signo positivo. Vamos entonces a conformar la fracción, donde el exponente se reparte, tal como nos dice la propiedad que utilizamos en el primer término. Entonces , es decir, 1×1 nos da 1 en el numerador, y , es decir, 4×4 nos da 16 en el denominador. Y esto queda multiplicando por la fracción positiva 1/2 a la que ya podemos quitarle el paréntesis: $$ P = -\frac{1}{27}-2\frac{1}{16}\frac{1}{2}+4\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^4 $$ Tercer término

Allí tenemos 4 por la fracción (-1/3) a la que vamos a conservarle el paréntesis. Luego tenemos la fracción (-1/4), también la protegemos con paréntesis. Y luego tenemos (1/2)⁴ en donde vamos a aplicar la propiedad para distribuir el exponente, tendremos un resultado positivo, podemos omitir ya los paréntesis, entonces 1⁴, es decir, 1×1×1×1 nos da 1, y en el denominador 2⁴, es decir, 2×2×2×2 al final nos da 16: $$ P = -\frac{1}{27}-2\frac{1}{16}\frac{1}{2}+4\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)\frac{1}{16} $$ Ahora vamos a efectuar las multiplicaciones que hay en el segundo y en el tercer término.

Entonces el primer término no presenta ningún cambio. Luego tenemos (-) y el número 2 que tiene como denominador al número 1, y recordemos que para multiplicar fracciones se deben multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí. Entonces ensamblamos la operación: $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{2×1×1}{1×16×2}+4\bigg(-\frac{1}{3}\bigg)\bigg(-\frac{1}{4}\bigg)\frac{1}{16} $$ Ahora vamos a definir el signo de lo que será el tercer término. Iniciando por el +4 tenemos (+)×(-)×(-), es decir, (+)×(-) es menos y (-)×(-) es (+). Es decir, al final tendremos signo positivo para lo que será el tercer término.

También el número 4 tiene denominador 1, y vamos a efectuar la multiplicación de esas fracciones, vamos a ensamblar la operación: $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{2×1×1}{1×16×2}+\frac{4×1×1×1}{1×3×4×16} $$ Continuando, nuevamente el primer término no presenta ningún cambio. Después, en el segundo término vamos a simplificar lo que sea posible, observamos el número 2 repetido en el numerador y en el denominador, entonces sacamos mitad de 2 que nos da 1: $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{\overset{1}{\not2}×1×1}{1×16×\underset{1}{\not2}}+\frac{4×1×1×1}{1×3×4×16} $$ Revisamos y vemos que no es posible simplificar algo más, entonces vamos a multiplicar los números que nos quedaron. En el numerador 1×1×1 nos da 1, y en el denominador 1×16×1 nos da 16. $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{1}{16}+\frac{4×1×1×1}{1×3×4×16} $$ Pasamos al tercer término donde también vamos a simplificar lo que sea posible. Observamos el número 4 repetido en el numerador y en el denominador, entonces podemos simplificarlos, es como dividir por 4 arriba y abajo.

Revisamos y vemos que no es posible simplificar nada más, entonces multiplicamos lo que nos quedó. En el numerador, producto de unos, nos da 1, y en el denominador tenemos 3×16 que será 48. $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{1}{16}+\frac{1}{48} $$ Llegamos así a lo que es resta y suma de fracciones con distinto denominador, son fracciones heterogéneas.

Entonces vamos a determinar el MCM de esos denominadores, de 27, 16 y 48. $$ MCM(27, 16, 48) $$ Vamos a realizar la descomposición simultánea en factores primos para esos tres números. Escribimos los tres número y una línea vertical, y vamos a comenzar con la descomposición usando los número primos: $$ \begin{matrix} 27 & 16 & 48 & | & \ \\
\ & \ & \ & | & \ \\
\ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Comenzamos con el 2, porque el 2 le sirve a 16 y a 48. Al 27 no le sirve como divisor, entonces volvemos a escribir ese número. Mitad de 16 es 8 y mitad de 48 es 24: $$ \begin{matrix} 27 & 16 & 48 & | & 2 \\ 27 & 8 & 24 & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Observamos dos número pares, el 8 y el 24, entonces el número primo 2 vuelve a servir. A 27 no le sirve, lo dejamos tal como está, y luego mitad de 8 es 4 y mitad de 24 es 12: $$ \begin{matrix} 27 & 16 & 48 & | & 2 \\ 27 & 8 & 24 & | & 2 \\ 27 & 4 & 12 & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Volvemos a utilizar el 2 porque nuevamente tenemos números pares. A 27 no le sirve, lo dejamos tal cual. Mitad de 4 es 2 y mitad de 12 es 6: $$ \begin{matrix} 27 & 16 & 48 & | & 2 \\ 27 & 8 & 24 & | & 2 \\ 27 & 4 & 12 & | & 2 \\ 27 & 2 & 6 & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Volvemos a usar el 2 porque tenemos los números pares 2 y 6. A 27 no le sirve, se queda como está. Mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3: $$ \begin{matrix} 27 & 16 & 48 & | & 2 \\ 27 & 8 & 24 & | & 2 \\ 27 & 4 & 12 & | & 2 \\ 27 & 2 & 6 & | & 2 \\ 27 & (1) & 3 & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Con este (1) ya hemos terminado con esa columna, y nos concentramos ahora en los otros dos número, 27 y 3.

El número primo 2 ya no sirve, porque ahora tenemos números impares.

Pasamos a revisar el siguiente número primo que es el 3, y efectivamente sí le sirve a estos dos números, entonces usamos el 3. Tercera de 27 es 9. Tercera de 3 es 1, entonces también ya terminamos con esta columna: $$ \begin{matrix} 27 & 16 & 48 & | & 2 \\ 27 & 8 & 24 & | & 2 \\ 27 & 4 & 12 & | & 2 \\ 27 & 2 & 6 & | & 2 \\ 27 & (1) & 3 & | & 3 \\ 9 & \ & (1) & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Nos queda el número 9. Podemos seguir usando el número primo 3. Tercera de 9 es 3: $$ \begin{matrix} 27 & 16 & 48 & | & 2 \\ 27 & 8 & 24 & | & 2 \\ 27 & 4 & 12 & | & 2 \\ 27 & 2 & 6 & | & 2 \\ 27 & (1) & 3 & | & 3 \\ 9 & \ & (1) & | & 3 \\ 3 & \ & \ & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Y a 3 le sirve solamente el 3. Tercera de 3 es 1. Y de esta manera terminamos el proceso de descomposición de estos números en factores primos: $$ \begin{matrix} 27 & 16 & 48 & | & 2 \\ 27 & 8 & 24 & | & 2 \\ 27 & 4 & 12 & | & 2 \\ 27 & 2 & 6 & | & 2 \\ 27 & (1) & 3 & | & 3 \\ 9 & \ & (1) & | & 3 \\ 3 & \ & \ & | & 3 \\ (1) & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Hacemos ahora la multiplicación de estas cantidades. Podríamos inclusive formar grupos. Por un lado tenemos 2×2×2×2 que es 16, y luego 3×3×3 que es 27. Sería entonces el producto entre 16 y 27 que es 432.

Ese será entonces el Mínimo Común Múltiplo de los tres denominadores: $$ MCM(27, 16, 48) = 432 $$ Vamos a continuar con el polinomio. Trazamos la línea fraccionaria y escribimos en el denominador el MCM: $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{1}{16}+\frac{1}{48} = \frac{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{432} $$ Ahora decimos, 432 dividido entre 27, y como sabemos que 27 es es factor de 432, entonces 432÷27 nos va a dar como resultado 16, y 16 multiplicado por el 1 del numerador, será 16. Pero aquí debemos tener cuidado porque esta primer fracción es negativa, digamos que el signo menos inicialmente estaría delante de la línea fraccionaria, pero pero en realidad lo podemos trasladar al 1 del numerador, por lo tanto allí tendremos -16: $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{1}{16}+\frac{1}{48} = \frac{-16\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{432} $$ Continuamos, tenemos (-) y 432 dividido entre 16 nos da como resultado 27, y 27×1 será 27: $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{1}{16}+\frac{1}{48} = \frac{-16-27\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{432} $$ Después tenemos (+) y 432 dividido entre 48 nos da como resultado 9, y 9×1 nos da 9: $$ P = -\frac{1}{27}-\frac{1}{16}+\frac{1}{48} = \frac{-16-27+9}{432} $$ Y ahora lo que hacemos es efectuar esas operaciones que tenemos en el numerador, -16-27 eso nos da como resultado -43, y -43+9 al final nos da como resultado -34. Y esto nos queda sobre 432: $$ P = \frac{-34}{432} $$ Esta fracción que hemos obtenido se puede simplificar. Vemos que ambos números son pares, por lo tanto podríamos dividir en el numerador y en el denominador por 2, de esa manera el valor numérico del polinomio nos queda como: la mitad de -34 sería -17, y la mitad de 432 es 216: $$ P = \frac{-34}{432} = \frac{-17}{216} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red}R/. $$ Aquí revisamos y no es posible simplificar nada más, por lo tanto esta será la respuesta para el ejercicio. Es el valor numérico para este polinomio, cuando sus variable a, b y c tomas las cantidades dadas.


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