Valor numérico de un polinomio - Ejercicio 4

  • Autor: julioprofe
  • Transcriptor: Transcriptor.net
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Vamos a evaluar esta expresión algebraica para estos valores numéricos en las letras o variables x y y. $$ x^2 - y^3 - 4xy^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{2}{3}\ \ \ \ y=-\frac{1}{2} $$ Vamos a resolver este ejercicio manualmente, y al final haremos la comprobación con la calculadora Casio Classwiz.

Comenzamos desapareciendo las letras que tenemos en este polinomio de tres términos, es decir, en este trinomio. En donde tenemos la x y en donde está la y, vamos a abrir paréntesis para luego insertar allí los valores numéricos con los que vamos a trabajar: $$ (\ )^2 - (\ )^3 - 4(\ )(\ )^2 $$ Entonces, en el lugar que corresponde a la letra x vamos a ingresar el número fraccionario 2/3, y los lugares que corresponden a la letra o variable y vamos a ingresar -1/2. Entonces de esta manera vamos a evaluar ese trinomio para estos valores numéricos de x y y: $$ \bigg(\frac{2}{3}\bigg)^2 - \bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^3 - 4\bigg(\frac{2}{3}\bigg)\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^2 $$ Comenzamos por desarrollar estas potencias. Entonces, vamos a aplicar esta propiedad de la potenciación:

$$ \color{blue}\bigg(\frac{a}{b}\bigg)^n = \frac{a^n}{b^n} $$ Si tenemos una fracción elevada a un exponente, por ejemplo n, entonces ese exponente afecta al numerador, y también afecta a denominador

Entonces tendremos, para el primer término: $$ \frac{2^2}{3^2} - \bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^3 - 4\bigg(\frac{2}{3}\bigg)\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^2 $$ aquí repartimos el exponente 2 tanto para el numerador como para el denominador.

En el segundo término tenemos una situación que vamos a recordar con otra propiedad de la potenciación:

$$ \color{blue}(-)^{impar} = - $$

Si la base es negativa y el exponente es un número impar, tal como tenemos en este caso, entonces el resultado será, negativo.

Por lo tanto, antes de repartir el exponente podemos ya asegurar el signo - que nos va a dar como resultado de resolver esa potencia. Entonces nos queda: $$ \frac{2^2}{3^2} - \bigg(-\frac{1^3}{2^3}\bigg) - 4\bigg(\frac{2}{3}\bigg)\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)^2 $$ allí repartimos el exponente y se define el signo del resultado de acuerdo a la propiedad.

Continuamos con el tercer término, nos queda 4(2/3) en espera, y vamos a resolver la potencia.

Vuelve a utilizarse otra propiedad de la potenciación:

$$ \color{blue}(-)^{par} = + $$

Si la base es negativa, y el exponente es par, entonces el resultado será positivo.

Es la situación que tenemos acá, por lo tanto, al momento de repartir el exponente ya sabemos que el resultado es positivo. Tenemos el signo + invisible y tenemos: $$ \frac{2^2}{3^2} - \bigg(-\frac{1^3}{2^3}\bigg) -4\bigg(\frac{2}{3}\bigg)\bigg(\frac{1^2}{2^2}\bigg) $$ Repartimos el exponente de acuerdo a la primera propiedad.

Continuamos resolviendo todas estas potencias que nos quedaron, y también definiendo lo que sucede en el segundo término, es decir, vamos a romper ese paréntesis.

Entonces tendremos 2² = 4 sobre que nos da 9: $$ \frac{4}{9} - \bigg(-\frac{1^3}{2^3}\bigg) -4\bigg(\frac{2}{3}\bigg)\bigg(\frac{1^2}{2^2}\bigg) $$ En el segundo término como decíamos, ya se puede romper el paréntesis. Tenemos signos vecinos, (-)×(-) nos da (+), se aplica la ley de los signos: $$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -4\bigg(\frac{2}{3}\bigg)\bigg(\frac{1^2}{2^2}\bigg) $$ En el tercer término tenemos -4 que va a multiplicar a (2/3) y que también va a multiplicar a la siguiente fracción. En el numerador tenemos que es 1 y en el denominador que es 4: $$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -4\bigg(\frac{2}{3}\bigg)\bigg(\frac{1}{4}\bigg) $$ Esto que hemos obtenido, también puede escribirse de la siguiente manera: $$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -4×\frac{2}{3}×\frac{1}{4} $$ es decir, quitamos los paréntesis que protegen esas cantidades en el tercer término.

A el número 4, que es entero, podemos colocarle denominador 1: $$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -\frac{4}{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4} $$ Y así, observamos las siguientes operaciones: suma, resta y multiplicación de números fraccionarios.

Debemos comenzar por resolver las multiplicaciones.

Entonces los primeros dos términos se quedan en espera, y vamos a proceder con esta operación que tenemos, solo de multiplicación. Ensamblamos esa operación escribiendo en el numerador el producto o la multiplicación de numeradores, y en el denominado el producto o la multiplicación de los denominadores: $$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -\frac{4×2×1}{1×3×4} $$ Enseguida, vamos a simplificar todo lo que se pueda en el tercer término. Vemos el número 4 repetido tanto en el numerador como en el denominador, y como son factores, entonces pueden cancelarse o eliminarse, es lo mismo que dividir por 4 arriba y abajo. Si revisamos, no es posible simplificar nada más, entonces esto nos queda: $$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -\frac{2}{3} $$ Ahora sí, procedemos con estas operaciones de suma y resta, observamos tres fracciones con distinto denominador, es decir, fracciones heterogéneas.

Vamos a determinar lo que se llama el común denominador, que viene siendo el mínimo común múltiplo de estas tres cantidades, de 9, 8 y 3, que son los denominadores de esas fracciones.

Entonces escribimos los números espaciados entres sí, y una línea vertical a la derecha del último: $$ \begin{matrix} 9 & 8 & 3 & | & \ \\
\ & \ & \ & | & \ \\
\ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Y comenzamos examinando a la derecha los números primos. Comenzamos con el 2, que es el primer número primo. 2 sería divisor de 8 por ser número par, entonces utilizamos el 2.

Mitad de 8 es 4, y 2 no le sirve al 9 y no le sirve al 3, entonces estos números se dejan como están: $$ \begin{matrix} 9 & 8 & 3 & | & 2 \\ 9 & 4 & 3 & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ El 2 vuelve a servir porque a la izquierda tenemos un 4, entonces lo utilizamos. Mitad de 4 nos da 2, pero 2 no le sirve al 9 y tampoco al 3, entonces volvemos a dejarlos tal como están: $$ \begin{matrix} 9 & 8 & 3 & | & 2 \\ 9 & 4 & 3 & | & 2 \\ 9 & 2 & 3 & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Otra vez tenemos a la izquierda un 2, por lo tanto volvemos a utilizar ese número primo. Mitad de 2 nos da 1, y con este 1 terminamos ya esta descomposición (esta columna). Nuevamente 2 no le sirve al 9 y no le sirve al 3, los dejamos tal como están: $$ \begin{matrix} 9 & 8 & 3 & | & 2 \\ 9 & 4 & 3 & | & 2 \\ 9 & 2 & 3 & | & 2 \\ 9 & (1) & 3 & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Y ahora nos concentramos en el 9 y en el 3, para los cuales va a servir el número primo 3. Decimos, tercera de 9, nos da 3, tercera de 3 es 1, entonces también terminamos con esta columna. $$ \begin{matrix} 9 & 8 & 3 & | & 2 \\ 9 & 4 & 3 & | & 2 \\ 9 & 2 & 3 & | & 2 \\ 9 & (1) & 3 & | & 3 \\ 3 & \ & (1) & | & \ \\ \ & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Nos queda a la derecha el número 3, para el cual solo sirve el número primo 3. Tercera de 3 nos da 1 y también terminamos esta columna: $$ \begin{matrix} 9 & 8 & 3 & | & 2 \\ 9 & 4 & 3 & | & 2 \\ 9 & 2 & 3 & | & 2 \\ 9 & (1) & 3 & | & 3 \\ 3 & \ & (1) & | & 3 \\ (1) & \ & \ & | & \ \end{matrix} $$ Ahora vamos a multiplicar los números que quedaron a la derecha de la barra vertical, para obtener así el Mínimo Común Múltiplo de 9, 8 y 3. Entonces podemos hacerlo por grupos, 2×2×2 nos da 8, en otro grupo 3×3 es 9, y finalmente 8×9 nos da 72, que es el Común denominador para esas fracciones o también el MCM(9,8,3).

Volviendo a nuestro polinomio, entonces colocamos el 72 como denominador: $$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -\frac{2}{3} = \frac{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{72} $$ Y hacemos el siguiente procedimiento:

  • 72 dividido entre 9, eso nos da 8, y 8 lo multiplicamos por 4 para obtener 32.
  • Continúa con más (+), y 72 dividido entre 8, eso nos da 9, y 9 multiplicado por 1 es 9.
  • Después tenemos menos (-), y 72 dividido entre 3, eso nos da 24, y 24 por 2 es 48.

$$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -\frac{2}{3} = \frac{32 + 9 - 48}{72} $$

Este procedimiento que acabamos de utilizar, resume el que habitualmente se aplica para estos casos de sumas o restas de fracciones heterogéneas.

Vamos a recordarlo rápidamente:

  • ¿9 por qué número nos da 72? Sería por 8, entonces multiplicamos por 8 abajo y arriba.
  • ¿8 multiplicado por qué número nos da 72? Sería por 9, multiplicamos abajo y arriba por 9.
  • ¿Y 3 multiplicado por qué número nos da 72? Sería por 24, multiplicamos por ese número abajo y arriba.

$$ \frac{4}{9} + \frac{1}{8} -\frac{2}{3} = \frac{4\color{green}×8}{9\color{green}×8} + \frac{1\color{green}×9}{8\color{green}×9} -\frac{2\color{green}×24}{3\color{green}×24} $$

Entonces, aquí se observa, 9×8=72, 8×9=72 y 3×24=72. Allí tendríamos ya el mismo denominador que es 72, y en los numeradores 4×8=32, 1×9=9 y 2×24=48.

Para terminar, resolvemos esto que nos quedó en el numerador, entonces 32+9 nos daría 41 positivo, y 41-48 es -7, y esto queda sobre 72, una fracción negativa que no se puede simplificar, sería una fracción irreducible. $$ \frac{32 + 9 - 48}{72} = \frac{-7}{71} \ \ \ \ \ \color{red}R/. $$ De esta manera terminamos el ejercicio, éste es el resultado de evaluar nuestra expresión algebráica para los valores numéricos dados de las variables x y y.


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