Producto de matrices - Ejercicio 1

  • Autor: julioprofe
  • Transcriptor: Transcriptor.net
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Transcripción del vídeo

Dadas las matrices A y B que apreciamos aquí, vamos a encontrar la matriz AB, es decir, la multiplicación de ellas dos: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\[0.3em] 4 & 0 & -2 \end{bmatrix} $$

$$ B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\[0.3em] 2 & 4 \\[0.3em] -1 & 5 \end{bmatrix} $$

Para empezar debemos mirar si el producto es posible y para ello debemos determinar el orden de cada una de las matrices:

  • La matriz A va a ser de orden 2×3, porque tiene 2 filas y 3 columnas.
  • La matriz B va a ser de orden 3×2, porque tiene 3 filas y 2 columnas.

Para que el producto de matrices sea posible, en este caso queremos hallar la matriz AB, es decir A por B, se debe cumplir que:

  • El número de columnas de la primer matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. Vemos entonces que esto se está cumpliendo ya que A tiene 3 columnas y B tiene 3 filas. Por lo tanto podemos proceder con el producto de las matrices.

La matriz producto AB va a ser una matriz de orden 2×2, es decir, el número de filas de la primer matriz y el número de columnas de la segunda matriz son los que me van a determinar el orden de la matriz producto, entonces va a ser una matriz de 2 filas con 2 columnas.

Vamos entonces a configurarla a manera de una tabla que nos permita facilitar el cálculo de sus celdas. Entonces diseñamos una tabla que tenga 2 filas y 2 columnas, y vamos a colocar la dirección de cada una de sus celdas: $$ AB = \boxed{\begin{array}{c|c} \overset{\color{blue}\ ^{[11]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{\ } & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[12]}}{\ } \\
—— & —— \\
\overset{\color{blue}\ ^{[21]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{\ } & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[22]}}{\ } \end{array}} $$ Estas celdas serán:

  • Celda 11, porque está en la fila 1 y la columna 1
  • Celda 12, porque está en la fila 1, columna 2
  • Celda 21, porque está en la fila 2, columna 1
  • Celda 22, porque está en la fila 2, columna 2

Vamos entonces a encontrar los elementos celda a celda.

Celda 11

Para ello tomamos la fila 1 de la matriz A, y vamos a multiplicar sus elementos por los de la columna 1 de la matriz B. Es decir, vamos a tomar los tres elementos de la fila 1 de la matriz A, por los tres elementos de la columna 1 de la matriz B. Vamos a hacerlo de manera respectiva, es decir, primero con primero, segundo con segundo y tercero con tercero.

Veamos los valores que vamos a usar en azul y en rojo: $$ A = \begin{bmatrix} \color{blue}1 & \color{blue}2 & \color{blue}-3 \\[0.3em] 4 & 0 & -2 \end{bmatrix} $$

$$ B = \begin{bmatrix} \color{red}3 & 1 \\[0.3em] \color{red}2 & 4 \\[0.3em] \color{red}-1 & 5 \end{bmatrix} $$

Entonces sería la operación: $$ \begin{align*} Celda_{11} &= f1_A \times C1_B\\&= \textcolor{blue}{(1)} × \textcolor{red}{(3)} + \textcolor{blue}{(2)} × \textcolor{red}{(2)} + \textcolor{blue}{(-3)} × \textcolor{red}{(-1)} \\
&= 3 + 4 + 3\\
&= 10 \end{align*} $$

Esto quiere decir entonces que en la celda 11 tenemos el elemento 10: $$ AB = \boxed{\begin{array}{c|c} \overset{\color{blue}\ ^{[11]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{10} & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[12]}}{\ } \\
—— & —— \\
\overset{\color{blue}\ ^{[21]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{\ } & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[22]}}{\ } \end{array}} $$

Celda 12

Vamos ahora con la celda 12. Para ello vamos a tomar la fila 1 de la matriz A, por la columna 2 de la matriz B. Entonces los elementos a utilizar de la matriz A se van a conservar, pero ahora vamos a trabajar con la columna 2 de la matriz B: $$ A = \begin{bmatrix} \color{blue}1 & \color{blue}2 & \color{blue}-3 \\[0.3em] 4 & 0 & -2 \end{bmatrix} $$

$$ B = \begin{bmatrix} 3 & \color{red}1 \\[0.3em] 2 & \color{red}4 \\[0.3em] -1 & \color{red}5 \end{bmatrix} $$

Entonces cambiarán los segundos componentes (en rojo): $$ \begin{align*} Celda_{12} &= f1_A \times C2_B\\&= \textcolor{blue}{(1)} × \textcolor{red}{(1)} + \textcolor{blue}{(2)} × \textcolor{red}{(4)} + \textcolor{blue}{(-3)} × \textcolor{red}{(5)} \\ &= 1 + 8 - 15\\ &= -6\end{align*} $$ Entonces escribimos -6 en la matriz: $$ AB = \boxed{\begin{array}{c|c} \overset{\color{blue}\ ^{[11]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{10} & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[12]}}{-6} \\ —— & —— \\ \overset{\color{blue}\ ^{[21]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{\ } & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[22]}}{\ } \end{array}} $$

Celda 21

A continuación, vamos a encontrar el elemento que va en la celda 21. Entonces trabajamos con la fila 2 de la matriz A, y la columna 1 de la matriz B: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\[0.3em] \color{blue}4 & \color{blue}0 & \color{blue}-2 \end{bmatrix} $$

$$ B = \begin{bmatrix} \color{red}3 & 1 \\[0.3em] \color{red}2 & 4 \\[0.3em] \color{red}-1 & 5 \end{bmatrix} $$

Vamos a anotar los elementos y a resolver: $$ \begin{align*} Celda_{21} &= f2_A \times C1_B\\&= \textcolor{blue}{(4)} × \textcolor{red}{(3)} + \textcolor{blue}{(0)} × \textcolor{red}{(2)} + \textcolor{blue}{(-2)} × \textcolor{red}{(-1)} \\ &= 12 + 0 + 2\\ &= 14\end{align*} $$ Esto nos da 14 que es el elemento de la celda 21: $$ AB = \boxed{\begin{array}{c|c} \overset{\color{blue}\ ^{[11]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{10} & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[12]}}{-6} \\ —— & —— \\ \overset{\color{blue}\ ^{[21]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{14} & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[22]}}{\ } \end{array}} $$

Celda 22

Y por último vamos a encontrar el elemento que va en la celda 22. Para ello utilizamos la fila 2 de la matriz A, y la columna 2 de la matriz B: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\[0.3em] \color{blue}4 & \color{blue}0 & \color{blue}-2 \end{bmatrix} $$

$$ B = \begin{bmatrix} 3 & \color{red}1 \\[0.3em] 2 & \color{red}4 \\[0.3em] -1 & \color{red}5 \end{bmatrix} $$

Veamos: $$ \begin{align*} Celda_{22} &= f2_A \times C2_B\\&= \textcolor{blue}{(4)} × \textcolor{red}{(1)} + \textcolor{blue}{(0)} × \textcolor{red}{(-2)} + \textcolor{blue}{(-2)} × \textcolor{red}{(5)} \\ &= 4 + 0 - 10\\ &= -6\end{align*} $$ Entonces -6 es el elemento de la celda 22: $$ AB = \boxed{\begin{array}{c|c} \overset{\color{blue}\ ^{[11]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{10} & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[12]}}{-6} \\ —— & —— \\ \overset{\color{blue}\ ^{[21]}\ \ \ \ \ \ \ \ }{14} & \overset{\ \ \ \ \ \ \ \ \color{blue}\ ^{[22]}}{-6} \end{array}} $$

Matriz producto

Hemos terminado de hallar los resultados, entonces para dar la respuesta deshacemos la tabla, y la matriz entonces va a ser: $$ AB = \begin{bmatrix} 10 & -6 \\[0.3em] 14 & -6 \end{bmatrix}_{2\times2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red}R/. $$ Es una matriz matriz de orden 2×2 y ese es entonces el resultado de la multiplicación de la matriz A por la matriz B.


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